Ça peut être la batterie quand même, car c'est au moment du démarrage qu'elle doit fournir le plus d'énergie.
Essaye dans un premier temps de nettoyer les cosses (genre paille de fer triple 0 mais touche pas la masse sinon tu vas prendre feu ahaha).
Si en plus tu dis que ça t'arrives souvent et qu'en poussant ça passe, ça peut vraiment être ça. Si t'as un multimètre tu peux vérifier la tronche de ta batterie .
Tu peux aussi essayer de démarrer en tournant l'accélérateur à fond si c'est une injection (je crois que c'est pas le cas sur la bandouille 2003, mais au cas où ...).
Vue la région, j'exclue bien entendu tout problème de froid ...